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三次元幾何

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yahirohumpty

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いつも忘れるのでメモ．
大文字は三次元縦ベクタで小文字はスカラとする．

点と直線の距離


ターゲットとする点をP,直線をA+sBとする．
Pから直線におろした垂線の交点をQとすると，
(P-Q) \cdot B = 0
Q = A+ s_q B
なので，
(P - A + s_q B) \cdot B = P \cdot B - A \cdot B + s_q |B|^2 =0
これより
s_q = (P - A) \cdot B / |B|^2
求める距離は
|P-Q|

線分のときは？

上の式でAとA+Bを両端として，
0 \le s \le 1ならそのまま直線からの距離を使える．
この範囲を外れた場合両端点からの距離のうち近いほうが距離になる．

二直線間の距離


点と平面の距離


平面と平面の交線


三つの平面の交点


平面のパラメータを
N_i \cdot X = d_i , i \in \{0,1,2\}
とおくと，交点は次のように求められる．

\frac{d_0 (N_1 \times N_2) + d_1 (N_2 \times N_0) + d_2 (N_0 \times N_1)}{(N_0 \times N_1) \cdot N_2}

タグ：

三次元幾何
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